Рассмотренные выше понятия функций двух или трех переменных можно обобщать на случай переменных.

Определение. Функцией переменных
называется функция, область определения
которой принадлежит
, а область значений – действительной оси.

Такая функция каждому набору переменных
из
сопоставляет единственное число.

В дальнейшем для определенности мы будем рассматривать функции
переменных, но все утверждения сформулированные для таких функции остаются верными и для функций большего числа переменных.

Определение. Число называется пределом функции

в точке
, если для каждого
найдется такое число
что при всех
из окрестности
, кроме этой точки, выполняется неравенство

.

Если предел функции
в точке
равен, то это обозначается в виде

.

Практически все свойства пределов рассмотренные нами ранее для функций одной переменной остаются справедливыми и для пределов функций нескольких переменных, однако практическим нахождением таких пределов мы заниматься не будем.

Определение. Функция
называется непрерывной в точке
если выполняется три условия:

1) существует

2) существует значение функции в точке

3) эти два числа равны между собой, т.е. .

Практически исследовать непрерывность функции можно с помощью следующей теоремы.

Теорема. Любая элементарная функция
непрерывна во всех внутренних (т.е. не граничных) точках своей области определения.

Пример. Найдем все точки, в которых функция

непрерывна.

Как было отмечено выше, эта функция определена в замкнутом круге

.

Внутренние точки этого круга является искомыми точками непрерывности функции, т.е. функция
непрерывна в открытом круге
.

Определение понятия непрерывности в граничных точках области определения
функции возможно, но мы этот вопрос в курсе затрачивать не будем.

1.3 Частные приращения и частные производные

В отличие от функций одной переменной, функций нескольких переменных имеют различные виды приращений. Это связано с тем, что перемещения в плоскости
из точки
можно осуществлять по различным направлениям.

Определение. Частным приращением по функции
в точке
соответствующим приращению
называется разность

Это приращение по существу является приращением функции одной переменной
полученной из функции
при постоянном значении
.

Аналогично частным приращением по в точке
функции
соответствующим приращению
называется разность

Это приращение вычисляется при фиксированном значении
.

Пример. Пусть

,
,
. Найдем частные приращения этой функции пои по

В данном примере при равных значениях приращений аргументов
и
, частные приращения функции оказались различными. Это связано с тем, что площадь прямоугольника со сторонами
и
при увеличении сторонына
увеличивается на величину
, а при увеличении сторонына
увеличивается на
(см.рис.4).

Из того факта, что функция двух переменных имеет два вида приращений, следует, что для нее можно определить два вида производных.

Определение . Частной производной по функции
в точке
называется предел отношения частного приращения поэтой функции в указанной точке к приращению
аргументат.е.

. (1)

Такие частные производные обозначаются символами ,,,. В последних случаях круглая буква “” – “” означает слово “частная”.

Аналогично, частная производная по в точке
определяется с помощью предела

. (2)

Другие обозначения этой частной производной: ,,.

Частные производные функций находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той, по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении переменнаяпринимается за постоянную, а при нахождении- постоянная.

Пример. Найдем частные производные функции
.

,
.

Пример. Найдем частные производные функции трех переменных

.

;
;
.

Частные производные функции
характеризуют скорости изменения этой функции в случае, когда одна из переменных фиксируется.

Пример по экономики.

Основным понятием теории потребления является функция полезности
. Эта функция выражает меру полезности набора
, где х- количество товара Х, у - количество товара У. Тогда частные производные
будут соответственно называться предельными полезностями х и у. Предельная норма замещения
одного товара другим равна отношению их предельных полезностей:

. (8)

Задача 1. Найти предельную норму замещения ч на у для функции полезности в точке А(3,12).

Решение: по формуле (8) получаем

Экономический смысл предельной нормы замещения заключается в обосновании формулы
, где-цена товара Х,- цена товара У.

Определение. Если у функции
имеются частные производные, то ее частными дифференциалами называются выражения

и

здесь
и
.

Частные дифференциалы являются дифференциалами функций одной переменной полученных из функции двух переменных
при фиксированныхили.

Примеры из экономики. Рассмотрим в качестве примера функцию Кобба-Дугласа.

Величина - средняя производительность труда, так как это количество продукции (в стоимостном выражении), произведенное одним рабочим.

Величина
- средняя фондоотдача- количество продукции, приходящееся на один станок.

Величина
- средняя фондовооруженность- стоимость фондов, приходящееся на единицу трудовых ресурсов.

Поэтому частная производная
называется предельной производительностью труда, так как она равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одним дополнительным рабочим.

Аналогично,
- предельная фондоотдача.

В экономике часто задают вопросы: на сколько процентов изменится выпуск продукции, если число рабочих увеличить на 1% или если фонды возрастут на 1%? Ответы на такие вопросы дают понятия эластичности функции по аргументу или относительная производная. Найдем эластичность выпуска продукции по труду
. Подставляя в числитель вычисленную выше частную производную, получим
. Итак, параметримеет ясный экономический смысл – это эластичность выпуска по труду.

Аналогичный смысл имеет и параметр - это эластичность выпуска по фондам.

5.1. Векторная функция и координатные функции.

5.2. Непрерывность векторной функции. Предел векторной функции.

5. Производная и дифференциал векторной функции, геометрическая интерпретация.Уравнения касательной к кривой в пространстве. (5.3)

5.3. Производная и дифференциал векторной функции.

5.3.1. Определение и геометрическая интерпретация производной векторной функции.

5.3.2. Дифференциал векторной функции.

5.3.3. Правила дифференцирования.

5.3.4. Уравнения касательной к кривой в трехмерном пространстве.

6. F: Rnr – действительные функции нескольких (многих) действительных переменных.

6.1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

6.1.1. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы.

6.1.2. Непрерывность функции нескольких переменных.

6.1.3. Свойства предела функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных в точке.

8. Предел функции двух переменных. Связь двойного предела с повторными. (6.1.1)

6.1.1. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы.

9.Определение частной производной. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. (6.2.3, 6.3.1)

6.2.3. Частные производные.

10. Определение дифференцируемой функции двух переменных. Связь дифференцируемости с непрерывностью и существованием частных производных.(6.2.4)

6.2.4. Связь дифференцируемости с существованием частных производных. Единственность дифференциала.

11. Дифференциал функции двух переменных. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Касательная плоскость. (6.2.1, 6.2.5, 6.2.6)

6.2.1. Дифференцируемая функция. Дифференциал.

6.2.6. Геометрическая интерпретация дифференцируемости функции двух переменных. Касательная плоскость к графику функции.

12. Инвариантность формы дифференциала. Формулы частных производных сложных функций.(6.2.9)

13. Инвариантность формы дифференциала. Формулы частных производных неявных функций. (6.2.10)

6.2.10. Теорема существования неявной функции. Производная (частные производные) неявной функции.

14. Производная по направлению. Формула для ее вычисления. (6.2.7)

15. Градиент функции в точке. Геометрический смысл направления и длины градиента. Ориентация градиента по отношению к линии или поверхности уровня. (6.2.8)

17. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для f(X, y). (6.4)

18. Необходимые и достаточные условия экстремума функции f(X, y). (6.5.1-6.5.3)

6.5.2. Необходимое условие локального экстремума функции нескольких переменных.

6.5.3. Достаточное условие локального экстремума функции нескольких переменных.

20. Наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой функции двух переменных в замкнутой ограниченной области. Алгоритм их нахождения. (6.7)

21. Метод наименьших квадратов. (6.8)

6.1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

R n – метрическое пространство:

для M 0 (x , x ,…, x ) и M (х 1 , х 2 , …, х n ) (М 0 , М ) = .

n = 2: для M 0 (x 0 , y 0), M (x , y ) (М 0 , М ) =
.

Окрестность точки M 0 U  (M 0) = – внутренние точки круга радиуса с центром в M 0 .

6.1.1. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы.

f : R n R задана в некоторой окрестности точки M 0 , кроме, может быть, самой точки M 0 .

Определение. Число А называется пределом функции

f (x 1 , x 2 , …, x n ) в точкеM 0 , если  >0  >0  M (0 <  (М 0 , М ) <   | f (M ) – A |<  ).

Формы записи:

n = 2:

Это двойной предел .

На языке окрестностей точек:

>0  >0  M (x , y ) (M  U  (M 0 )\ M 0  f (x , y )  U  (А )).

(M может приближаться к М 0 по любому пути).

Повторные пределы:
и
.

(M приближается к М 0 соответственно по горизонтали и по вертикали).

Теорема о связи двойного и повторных пределов.

Если  двойной предел
и пределы
,
,

то  повторные пределы
,
и равны двойному.

Замечание 1. Обратное утверждение не верно.

Пример . f (x , y ) =

,

.

Однако двойной предел

=

не существует, так как в любой окрестности точки (0, 0) функция принимает и «далекие » от нуля значения, например, если x = y , то f (x , y ) = 0,5.

Замечание 2. Даже если  А R : f (x , y )  А

при движении M к M 0 по любой прямой, двойной предел может не существовать.

Пример. f (x , y ) =
,M 0 (0, 0). M (x , y )  M 0 (0, 0)

Вывод: предел (двойной) не существует.

Пример нахождения предела.

f (x , y ) =
, M 0 (0, 0).

Покажем, что число 0 есть предел функции в точке M 0 .

=
,

 – расстояние между точками М и M 0 .(воспользовались неравенством
,

которое следует из неравенств
)

Зададим  > 0 и пусть  = 2.  <  

6.1.2. Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. f (x , y ) непрерывна в точке M 0 (x 0 , y 0), если она определена в некоторой U  (M 0) и
,т. е.>0 >0 M (0 < (М 0 , М ) <   | f (M ) – f (M 0)|< ).

Замечание. Функция может меняться непрерывно вдоль одних направлений, проходящих через точку М 0 , а вдоль других направлений или путей другой формы иметь разрывы. Если это так, она разрывна в точке М 0 .

6.1.3. Свойства предела функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных в точке.

Имеет место единственность предела ;

функция, имеющая конечный предел в точке М 0 , ограничена в некоторой окрестности этой точки ; выполняются порядковые и алгебраические свойства предела,

предельный переход сохраняет знаки равенства и нестрогих неравенств .

Если функция непрерывна в точке М 0 и f (М 0 )  0 , то знак значений f (М ) сохраняется в некоторой U  (M 0).

Сумма, произведение, частное (знаменатель  0) непрерывных функций также непрерывные функции , непрерывна сложная функция , составленная из непрерывных.

6.1.4. Свойства функций, непрерывных на связном замкнутом ограниченном множестве. n = 1, 2 и 3.

Определение 1. Множество  называется связным , если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и некоторую соединяющую их непрерывную кривую.

Определение 2. Множество  в R n называется ограниченным , если оно содержится в некотором «шаре»
.

n = 1 

n = 2 

n = 3  .

Примеры связных замкнутых ограниченных множеств .

R 1 = R : отрезок [a , b ];

R 2: отрезок АВ любой непрерывной кривой с концами в точках А и В ;

замкнутая непрерывная кривая;

круг
;

Определение 3. f : R n  R непрерывна на связном замкнутом множестве   R n , если M 0 

.

Теорема. Множество значений непрерывной функции

f : R n  R на замкнутом ограниченном связном множестве представляет собой отрезок [ m , M ] , здесь m - наименьшее , а M - наибольшее ее значения в точках множества.

Таким образом, на любом замкнутом ограниченном связном множестве в R n непрерывная функция ограничена, принимает свои наименьшее, наибольшее, а также все промежуточные значения.

"

Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Тольятти, 2008

Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .

Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают

z = f (x , y ).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .

Так, для функции z = x 2 + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :

u = F (x , y , z ).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .

Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается

u = f (x , y , z , …, t ).

Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) и обозначается f (М 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x , y ) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f (x , y ) →А при (x , y ) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k , y k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x , y ) – A | < ε(3)

для всех (x , y ) , удовлетворяющих неравенствам

< δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что

и ):

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f (x , y ) | < ε, если

< δ).

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

).

Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию

(х 4 + у 2 ≠ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

при х → 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2

и

Будем писать

, если функция f определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой точки (х 0 , у 0) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что

|f (x , y ) | > N ,

коль скоро 0 <

< δ.

Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:

(5)

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство