Как записать одночлен в стандартном виде. Урок "Понятие одночлена

Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Что значит привести одночлен к стандартному виду?

С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Как привести одночлен к стандартному виду?

Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.

Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?

Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:

• Во-первых, выполняется группировка числовых множителей, а также одинаковых переменных и их степеней;
• Во-вторых, вычисляется произведение чисел и применяется .

В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.

Примеры, решения

Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.

Пример.

Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.

Решение.

Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .

Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .

Ответ:

3·x·2·x 2 =6·x 3 .

Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.

Для закрепления материала решим еще один пример.

Пример.

Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.

Решение.

Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1 , перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a , отдельно – с переменно b , а переменную m группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем . После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1 . Минус единицу можно заменить знаком минус: .

Урок на тему: "Стандартный вид одночлена. Определение. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов
Мультимедийное учебное пособие "Геометрия за 10 минут" для 7-9 классов

Одночлен. Определение

Одночлен - это математическое выражение, которое представляет собой произведение простого множителя и одной или нескольких переменных.

К одночленам относятся все числа, переменные, их степени с натуральным показателем:
42;  3;  0;  6 2 ;  2 3 ;  b 3 ;  ax 4 ;  4x 3 ;  5a 2 ;  12xyz 3 .

Довольно часто бывает трудно определить, относится ли данное математическое выражение к одночлену или нет. Например, $\frac{4а^3}{5}$. Это одночлен или нет? Чтобы ответить на этот вопрос надо упростить выражение, т.е. представить в виде: $\frac{4}{5}*а^3$.
Мы можем точно сказать, что данное выражение - одночлен.

Стандартный вид одночлена

При вычислениях желательно привести одночлен к стандартному виду. Это наиболее краткая и понятная запись одночлена.

Порядок приведения одночлена к стандартному виду следующий:
1. Перемножить коэффициенты одночлена (или числовые множители) и полученный результат поместить на первое место.
2. Выбрать все степени с одинаковым буквенным основанием и перемножить их.
3. Повторять пункт 2 для всех переменных.

Примеры.
I. Привести заданный одночлен $3x^2zy^3*5y^2z^4$ к стандартному виду.

Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $15х^2y^3z * y^2z^4$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $15х^2y^5z^5$.

II. Привести заданный одночлен $5a^2b^3 * \frac{2}{7}a^3b^2c$ к стандартному виду.

Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $\frac{10}{7}a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $\frac{10}{7}a^5b^5c$.

Начальные сведения об одночленах содержат уточнение, что любой одночлен возможно привести к стандартному виду. В материале ниже мы рассмотрим этот вопрос подробнее: обозначим смысл данного действия, определим шаги, позволяющие задать стандартный вид одночлена, а также закрепим теорию решением примеров.

Значение приведения одночлена к стандартному виду

Запись одночлена в стандартном виде позволяет более удобно работать с ним. Зачастую одночлены задаются в нестандартном виде, и тогда появляется необходимость осуществления тождественных преобразований для приведения заданного одночлена в стандартный вид.

Определение 1

Приведение одночлена к стандартному виду – это выполнение соответствующих действий (тождественных преобразований) с одночленом с целью записи его в стандартном виде.

Способ приведения одночлена к стандартному виду

Из определения следует, что одночлен нестандартного вида представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней, при этом возможно их повторение. В свою очередь, одночлен стандартного вида содержит в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени.

Чтобы привести нестандартный одночлен в стандартный вид, необходимо использовать следующее правило приведения одночлена к стандартному виду :

• первым шагом нужно выполнить группировку числовых множителей, одинаковых переменных и их степеней;
• второй шаг – вычисление произведений чисел и применение свойства степеней с одинаковыми основаниями.

Примеры и их решение

Пример 1

Задан одночлен 3 · x · 2 · x 2 . Необходимо привести его к стандартному виду.

Решение

Осуществим группировку числовых множителей и множителей с переменной х, в результате заданный одночлен примет вид: (3 · 2) · (x · x 2) .

Произведение в скобках составляет 6 . Применив правило умножения степеней с одинаковыми основаниями, выражение в скобках представим, как: x 1 + 2 = x 3 . В результате получим одночлен стандартного вида: 6 · x 3 .

Краткая запись решения выглядит так: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .

Ответ: 3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .

Пример 2

Задан одночлен: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Необходимо привести его в стандартный вид и указать его коэффициент.

Решение

заданный одночлен имеет в своей записи один числовой множитель: - 1 , осуществим его перенос в начало. Затем произведем группировку множителей с переменной а и множителей с переменной b . Переменную m группировать не с чем, оставляем в исходном виде. В результате перечисленных действий получим: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m .

Выполним действия со степенями в скобках, тогда одночлен примет стандартный вид: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . Из этой записи мы легко определяем коэффициент одночлена: он равен - 1 . Минус единицу вполне возможно заменить просто знаком минус: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m .

Краткая запись всех действий выглядит так:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = (- 1) · (a 5 · a · a 2) · (b 2 · b) · m = = (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m

Ответ:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m , коэффициент заданного одночлена равен - 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Цель: -Познакомится с понятием одночлена;

Выработать умение приводить примеры одночленов

Определять, является ли выражение одночленом,

Указывать его коэффициент и буквенную часть.

Познакомиться с понятием «стандартный вид одночлена»

Ввести алгоритмом приведения одночлена к стандартному виду;

Выработать практические навыки применения алгоритма

приведения одночлена к стандартному виду.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ТЕМА: Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена Цель: -Познакомится с понятием одночлена; -Выработать умение приводить примеры одночленов -Определять, является ли выражение одночленом, - Указывать его коэффициент и буквенную часть. -Познакомиться с понятием «стандартный вид одночлена» -Ввести алгоритмом приведения одночлена к стандартному виду; Выработать практические навыки применения алгоритма приведения одночлена к стандартному виду.

ОДНОЧЛЕНОМ НАЗЫВАЕТСЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ,КОТОРОЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ И ПЕРЕМЕННЫХ, ВОЗВЕДЕННЫХ В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. 2ав, - 4а⁴в⁵, 1,7с⁸в⁴ 0; 2 ; -0,6; х; а; х ⁶ Не являются одночленом выражения вида: а+в; 2х⁴+ 3у⁹; а⁴⁄с ⁸ ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА

Рассмотрим одночлен: 3а∙4 a²b⁵c²bac⁵=3∙4aa²b⁵bc²c=12a³b⁶c³ Математика стремится к чёткости, краткости и порядку. Мы привели одночлен к более короткой записи т.е. к стандартному виду.

Алгоритм. Привести одночлен к стандартному виду и назвать коэффициент одночлена. 3х⁴ yz ∙(-2) xy⁴z ⁸= 3∙(- 2) x⁴∙ х ∙ y⁴∙ y∙z∙z ⁸ = = -6х⁵∙ y⁵∙z ⁹ ¼ab⁴c4c=¼∙4ab⁴(c∙c)=ab⁴c² (3 /10) ав Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно: 1)Перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место; 2)Перемножить все имеющиеся степени с одинаковым буквенным основанием; 3)Перемножить все имеющиеся степени с другим буквенным основанием и т. Д. Числовой множитель одночлена записанного в стандартном виде называют коэффициентом одночлена

Привести одночлен к стандартному виду. 1 вариант а) 7с⁴·4с³·8 c⁶ б) 8х²·4 y³·(- 2х ³) 2 вариант а) 6 n²·3n³·9n⁶ б) 15 q⁴·2p²·(-5p⁵)

Проверим ответы самостоятельной работы. 1 вариант а) 244 с¹³ б) -64 x ⁸ у³ 2 вариант а) 162 n ¹¹ б) - 150 q ⁴ p⁷

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация по математике на тему "Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена". Презентация составлена для рассмотрения новой темы по математике в 7 классе "Понятие одночлена. Стандартный вид одночл...

понятие одночлена. стандартный вид одночлена

презентация к уроку алгебры в 7 классе на тему "Понятие одночлена. стандартный вид одночлена". даются понятия одночлен, степень одночлена, коэффициент одночлена, стандартный вид одночлена....

Понятие одночлена

Определение одночлена: одночлен - это алгебраическое выражение, в котором используется только умножение.

Стандартный вид одночлена

Что такое стандартный вид одночлена? Одночлен записан в стандартном виде, если в нём на первом месте стоит числовой множитель и этот множитель, его называют коэффициентом одночлена, только один в одночлене, буквы одночлена расположены в алфавитном порядке и каждая буква встречается только один раз.

Пример одночлена в стандартном виде:

здесь на первом месте число, коэффициент одночлена, и это число только одно в нашем одночлене, каждая буква встречается только один раз и буквы расположены в алфавитном порядке, в данном случае это латинский алфавит.

Ещё пример одночлена в стандартном виде:

каждая буква встречается лишь однажды, расположены они в латинском алфавитном порядке, но где коэффициент одночлена, т.е. числовой множитель, который должен стоять на первом месте? Он здесь равен единице: 1adm.

Коэффициент одночлена может быть отрицательным? Да, может, пример: -5a.

Коэффициент одночлена может быть дробным? Да, может, пример: 5,2a.

Если одночлен состоит только из числа, т.е. не имеет букв, как привести его к стандартному виду? Любой одночлен, представляющий собой число, уже находится в стандартном виде, пример: число 5 - это одночлен стандартного вида.

Приведение одночленов к стандартному виду

Как привести одночлен к стандартному виду? Рассмотрим примеры.

Пусть дан одночлен 2a4b, нужно привести его к стандартному виду. Перемножаем два его числовых множителя и получаем 8ab. Теперь одночлен записан в стандартном виде, т.е. имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, каждая бува в одночлене встречается только один раз и расположены эти буквы в алфавитном порядке. Итак, 2a4b = 8ab.

Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен к стандартному виду. Перемножаем числа 2 и 4, произведение aa заменяем второй степенью a 2 . Получаем: 8a 2 . Это стандартный вид данного одночлена. Итак, 2a4a = 8a 2 .

Подобные одночлены

Что такое подобные одночлены? Если одночлены различаются только лишь коэффициентами или равны, то они называются подобными.

Пример подобных одночленов: 5a и 2a. Эти одночлены различаются только коэффициентами, значит они подобны.

Подобны ли одночлены 5abc и 10cba? Приведем к стандартному виду второй одночлен, получим 10abc. Теперь видно, что одночлены 5abc и 10abc отличаются только своими коэффициентами, а это означает, что они подобны.

Сложение одночленов

Чему равна сумма одночленов? Суммировать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример сложения одночленов. Чему равна сумма одночленов 5a и 2a? Суммой этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых. Итак, сумма одночленов равна 5a + 2a = 7a.

Ещё примеры сложения одночленов:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Ещё раз. Складывать можно только подобные одночлены, сложение сводится к сложению их коэффициентов.

Вычитание одночленов

Чему равна разность одночленов? Вычитать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример вычитания одночленов. Чему равна разность одночленов 5a и 2a? Разностью этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен разности коэффициентов данных одночленов. Итак, разность одночленов равна 5a - 2a = 3a.

Ещё примеры вычитания одночленов:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Умножение одночленов

Чему равно произведение одночленов? Рассмотрим пример:

т.е. произведение одночленов равно одночлену, множители которого составлены из множителей исходных одночленов.

Ещё пример:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Как получился такой результат? В каждом сомножителе имеется «а» в степени: в первом - «а» в степени 2, а во втором - «а» в степени 5. Значит в произведении будет «а» в степени 7, ведь при умножении одинаковых букв показатели их степеней складываются:

A 2 * a 5 = a 7 .

Это же относится и к сомножителю «b».

Коэффициент первого сомножителя равен двум, а второго - одному, поэтому получаем в результате 2 * 1 = 2.

Вот так посчитался результат 2a 7 b 12 .

Из этих примеров видно, что коэффициенты одночленов перемножаются, а одинаковые буквы заменяются суммами их степеней в произведении.